Roda Mekanum Cukup Dihitung dengan Taylor Orde Dua

Deret Taylor orde dua sudah cukup untuk roda mekanum. Menaikkan pendekatan ke orde tiga tidak menambah ketelitian sama sekali, sedangkan orde satu meninggalkan galat sampai lima puluh kali lebih besar. Yang berubah hanya beban hitungnya, bukan mutu hasilnya.

Temuan itu dilaporkan Fauzi Rahmatullah Siregar, Hari Pamyu, dan Mahdhivan Syafwan dari Departemen Matematika dan Sains Data FMIPA Universitas Andalas dalam artikel Kinematic Analysis of Mechanum Wheel with the Taylor Series Approximation at Different Orders di Jurnal Matematika UNAND, edisi Januari 2026. Yang mereka hitung adalah kecepatan di titik sentuh roda dengan lantai.

Roda yang menyamping

Roda mekanum memakai roller kecil yang dipasang miring terhadap sumbu putar roda, biasanya pada sudut 45 derajat. Kemiringan itu melahirkan komponen kecepatan ke samping. Robot pun bisa bergeser ke segala arah tanpa memutar badannya lebih dulu. Roda biasa harus berbelok; roda mekanum tidak.

Kemampuan itu dipakai pada kendaraan otonom, sistem industri, dan robot tempur. Keunggulannya terasa di ruang sempit, tempat robot harus mencapai posisi yang sulit dijangkau. Semua itu menuntut satu syarat: mesin harus tahu persis ke mana titik sentuh rodanya bergerak pada setiap saat.

Di situlah hitungannya jadi berat. Kecepatan titik sentuh ditentukan empat hal sekaligus, yaitu gerak maju pusat roda, putaran badan robot, putaran roda utama, dan putaran roller pada sumbunya sendiri. Persamaan yang lahir dari empat komponen itu panjang, dan kendali robot harus menghitungnya berulang-ulang.

Tiga orde diuji

Sebelum ini, pemangkasan semacam itu baru dicoba sampai orde dua. Orde satu dan orde tiga belum pernah diperhitungkan pada persoalan yang sama. Artikel inilah yang melengkapinya, dengan membandingkan ketiganya pada satu roda yang parameternya dipatok tetap.

Deret Taylor memangkas persamaan panjang itu dengan mengganti fungsi trigonometri di dalamnya dengan bentuk yang lebih sederhana. Harganya adalah galat. Pertanyaan yang dijawab artikel ini sederhana: sampai orde berapa pemangkasan itu masih aman dipakai.

Pada orde satu, kosinus sudut simpang roller dianggap satu dan tangennya dianggap sama dengan sudut itu sendiri. Pada orde dua, kosinus dan sekan diberi koreksi kuadrat. Pada orde tiga, tangennya ditambah suku pangkat tiga. Ketiganya lalu dipakai pada roda yang sama dan dibandingkan dengan solusi eksaknya.

Simulasinya memakai satu roda berjari-jari 0,1 meter dengan roller berjari-jari 0,03 meter. Kecepatan maju pusat roda ditetapkan 1,32 dan kecepatan menyampingnya minus 0,81, sementara putaran badan robot dipatok 0,1 radian per detik. Kecepatan putar roda utama ditetapkan 5.

Jumlah roller diuji dalam tiga nilai: enam, delapan, dan dua belas. Angka-angka itu dipilih mengikuti rasio dimensi yang lazim pada roda mekanum robot bergerak. Ukuran kesalahannya memakai galat RMS, yaitu rata-rata simpangan terhadap nilai eksak di sepanjang rentang sudut.

Orde satu meleset

Pada roda berenam roller, orde satu meninggalkan galat terbesar. Galat RMS kecepatan arah maju tercatat 0,02372 dan arah menyamping 0,07136. Kurvanya pun tidak rapi: garis hasil orde satu berfluktuasi di sepanjang rentang sudut dan menjauh dari bentuk acuan.

Dengan delapan roller, galatnya mengecil menjadi 0,01283 dan 0,04043. Dengan dua belas roller, tinggal 0,00555 dan 0,01806. Bentuk kurvanya ikut melandai, meski penyimpangan kecil masih terlihat pada rentang sudut tertentu.

Artinya orde satu tidak selalu gagal. Ia masih bisa dipakai pada roda dengan roller banyak, dan pada pekerjaan yang memang tidak menuntut presisi tinggi. Untuk roda berenam roller, pilihan itu yang paling mahal ongkos ketelitiannya.

Besar kecilnya galat itu mudah dibandingkan. Galat orde satu pada dua belas roller, 0,00555, sudah empat kali lebih kecil daripada galat orde satu pada enam roller. Menambah roller ternyata memperbaiki hasil tanpa mengubah satu baris pun rumusnya.

Orde dua cukup

Begitu pendekatan dinaikkan ke orde dua, galatnya runtuh. Pada enam roller, angkanya turun dari 0,02372 ke 0,00205 untuk arah maju, dan dari 0,07136 ke 0,00123 untuk arah menyamping. Penurunan itu terjadi tanpa menambah satu pun percobaan baru, hanya dengan menyimpan satu suku tambahan dalam persamaan.

Pada delapan roller, galatnya 0,00062 dan 0,00039. Pada dua belas roller, 0,00012 dan 0,00008. Di ketiga konfigurasi itu kurva hasil orde dua nyaris menempel pada garis acuan, dan bentuknya sudah sulit dibedakan dari solusi eksaknya.

Perbandingannya mencolok. Untuk arah menyamping pada enam roller, galat orde dua sekitar lima puluh delapan kali lebih kecil daripada galat orde satu. Untuk dua belas roller, selisihnya lebih dari dua ratus kali.

Penulisnya menyimpulkan bahwa “penggunaan deret Taylor orde dua memberikan keseimbangan terbaik antara akurasi dan efisiensi komputasi”. Kalimat itu menjadi rekomendasi akhir mereka untuk perangkat lunak robot bergerak, terutama yang harus menghitung ulang posisi setiap saat.

Orde tiga sia-sia

Orde tiga tidak menambah apa pun. Angka galatnya sama persis dengan orde dua pada ketiga jumlah roller, sampai lima angka di belakang koma. Baik untuk arah maju maupun arah menyamping, tabelnya mengulang bilangan yang sama.

Penyebabnya dijelaskan penulisnya sendiri. Sudut simpang roller pada rentang simulasi itu kecil, sehingga suku pangkat tiga hampir tidak menyumbang nilai. Koreksi orde dua pun sudah menangkap kelengkungan utama fungsi trigonometrinya, sehingga suku berikutnya hanya menambah pekerjaan.

Bagi perancang robot, itu kabar yang melegakan. Rumus yang lebih rumit tidak otomatis lebih benar, dan dalam kasus ini kerumitan tambahan justru tidak dibayar dengan ketelitian.

Roller lebih banyak

Jumlah roller punya pengaruh sendiri, terpisah dari orde pendekatan. Makin banyak roller, makin landai kurva kecepatannya dan makin kecil galatnya di semua orde. Perbedaannya paling terasa pada orde satu, yang galat arah menyampingnya menyusut dari 0,07136 di enam roller menjadi 0,01806 di dua belas roller.

Pada orde dua, selisih antarjumlah roller tetap ada, tetapi sudah berada di angka yang sangat kecil: dari 0,00123 menjadi 0,00008. Dua belas roller memberi hasil paling halus, sementara enam roller adalah kasus yang paling menghukum pendekatan kasar.

Dua faktor itu bekerja bersama. Roda dengan roller sedikit menuntut pendekatan yang lebih teliti, sedangkan roda dengan roller banyak memberi kelonggaran lebih besar kepada perancangnya.

Untuk kendali waktu nyata

Penulisnya mengarahkan hasil ini ke kendali robot yang menghitung posisi terus-menerus. Dua pemakaian disebut: penghitungan kinematika balik dan penaksiran posisi berbasis tapis Kalman. Keduanya menuntut hitungan cepat yang tetap teliti, dan keduanya berjalan di perangkat yang kemampuannya terbatas.

Di situ orde dua menang dua kali. Ia jauh lebih teliti daripada orde satu, dan lebih murah daripada orde tiga yang hasilnya ternyata sama. Penghematan waktu hitung itulah yang membuatnya disebut paling sesuai untuk robot bergerak.

Galat model juga bukan satu-satunya sumber kesalahan posisi. Dalam kendali robot, simpangan semacam itu biasanya ditekan lagi dengan penggabungan data sensor. Model yang lebih bersih membuat pekerjaan penggabungan itu dimulai dari titik yang lebih dekat ke keadaan sebenarnya.

Model matematika serupa dipakai di bidang lain. Jurnal yang sama memuat perhitungan peluang ruang kuliah di Batam tetap kosong dan harga rumah yang diramal sebagai rentang, sementara pendekatan angka yang lain dipakai untuk meramal klaim asuransi kendaraan.

Batas hitungan ini

Semua angka di atas lahir dari simulasi, bukan dari robot yang benar-benar berjalan. Pembaca tidak bisa menyimpulkan bahwa robot yang memakai orde dua pasti bergerak lebih akurat di lantai sungguhan. Yang dibandingkan adalah rumus dengan rumus, bukan mesin dengan mesin.

Yang dihitung juga baru satu roda. Putaran badan robot dipatok kecil justru karena hanya satu roda yang diperhatikan, padahal robot mekanum biasanya berjalan dengan empat roda sekaligus. Kecepatan awal yang dipakai pun dipilih agar simulasinya stabil, dan rentang kecepatan lain belum diuji di artikel ini.

Ada pula satu ketidakcocokan di dalam naskahnya. Setelah menghitung, penulisnya menyebut nilai putaran roller berada di sekitar 1,6, padahal hasil hitungan yang mereka tulis sendiri di baris sebelumnya adalah 1,944. Selisih itu tidak mengubah kesimpulan tentang orde dua, tetapi pembaca yang ingin mengulang hitungannya perlu tahu bahwa dua angka itu tidak sama.

Hal serupa terjadi pada kalimat tentang orde tiga. Abstraknya menyebut orde tiga tidak memberikan peningkatan berarti, sedangkan tabelnya menunjukkan tidak ada peningkatan sama sekali. Untuk perancang yang sedang memilih rumus, dua pernyataan itu berbeda akibatnya.